Элейская школа
Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна
из древнейших школ, в трудах
которой математика и философия достаточно тесно и разносторонне взаимодействуют.
Основными
представителями элейской школы считают Парменида (конец VI — V в. до
н.э.) и Зенона (первая половина V в. до
н.э.) .
Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системы миропонимания
базируются на
одной из трех посылок: 1) Есть только бытие, небытия нет; 2) Существует
не только бытие, но и небытие; 3) Бытие
и небытие тождественны. Истинной Парменид признает только первую посылку.
Согласно ему, бытие едино,
неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в себе, только оно истинно
сущее; множественность,
изменчивость, прерывность, текучесть — все это удел мнимого.
С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон.
Древние приписывали ему сорок
доказательств для защиты учения о единстве сущего (против множественности
вещей) и пять доказательств его
неподвижности (против движения) . Из них до нас дошло всего девять.
Наибольшей известностью во все времена
пользовались зеноновы доказательства против движения; например, "движения
не существует на том основании,
что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца,
а чтобы дойти до половины, нужно
пройти половину этой половины и т.д. ".
Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения "здравого
смысла", выводам, но их нельзя
было просто отбросить как несостоятельные, поскольку и по форме, и по
содержанию удовлетворяли
математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные
части и двигаясь от заключений к
посылкам, можно реконструировать исходные положения, которые он взял
за основу своей концепции. Важно
отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской науке фундаментальные
философские представления
существенно опирались на математические принципы. Видное место среди
них занимали следующие аксиомы: 1.
Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых, но
протяженных величин должна быть
бесконечно большой; 2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа
непротяженных величин всегда
равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее заданной протяженной
величиной.
Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с фундаментальными
математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по философским
воззрениям, существенно затронул
систему математических знаний. Целый ряд важнейших математических построений,
считавшихся до этого
несомненно истинными, в свете зеноновских построений выглядели как противоречивые.
Рассуждения Зенона
привели к необходимости переосмыслить такие важные методологические
вопросы, как природа бесконечности,
соотношение между непрерывным и прерывным и т.п. Они обратили внимание
математиков на непрочность
фундамента их научной деятельности и таким образом оказали стимулирующее
воздействие на прогресс этой
науки.
Следует обратить внимание и на обратную связь — на роль математики в
формировании элейской
философии. Так, установлено, что апории Зенона связаны с нахождением
суммы бесконечной геометрической
прогрессии. На этом основании советский историк математики Э. Кольман
сделал предположение, что "именно на
математический почве суммирования таких прогрессий и выросли логико-философские
апории Зенона". Однако
такое предположение, по-видимому, лишено достаточных оснований, так
как оно слишком жестко связывает
учение Зенона с математикой при том, что имеющие исторические данные
не дают основания утверждать, что
Зенон вообще был математиком.
Огромное значение для последующего развития математики имело повышение
уровня абстракции
математического познания, что произошло в большой степени благодаря
деятельности элеатов. Конкретной
формой проявления этого процесса было возникновение косвенного доказательства
("от противного") ,
характерной чертой которого является доказательство не самого утверждения,
а абсурдности обратного ему. Таким
образом был сделан шаг к становлению математики как дедуктивной науки,
созданы некоторые предпосылки для
ее аксиоматического построения.
Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощным
толчком для принципиально
новой постановки важнейших методологических вопросов математики, а с
другой — послужили источником
возникновения качественно новой формы обоснования математических знаний.
